निश्चित समाकलन $\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना $I = \int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} dx$.
इसका मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। माना $u = x^{2} + 1$. तब $du = 2x dx$,जिसका अर्थ है कि $x dx = \frac{1}{2} du$.
समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = 2$,तब $u = 2^{2} + 1 = 5$.
जब $x = 3$,तब $u = 3^{2} + 1 = 10$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{5}^{10} \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} [\ln |u|]_{5}^{10}$.
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} (\ln 10 - \ln 5) = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{10}{5}\right) = \frac{1}{2} \ln 2$.